在三維空間中，旋轉矩陣有一個等於單位1的實特徵值。旋轉矩陣指定關於對應的特徵向量的旋轉(歐拉旋轉定理)。如果旋轉角是 θ，則旋轉矩陣的另外兩個(複數)特徵值是 exp(iθ) 和 exp(-iθ)。從而得出 3 維旋轉的跡數等於 1 + 2 cos(θ)，這可用來快速的計算任何 3 維旋轉的旋轉角。
3 維旋轉矩陣的生成元是三維斜對稱矩陣。因為只需要三個實數來指定 3 維斜對稱矩陣，得出只用三個實數就可以指定一個 3 維旋轉矩陣。
旋轉
編輯
主條目：Tait-Bryan角
生成旋轉矩陣的一種簡單方式是把它作為三個基本旋轉的序列複合。關於右手笛卡爾坐標系的 x-, y- 和 z-軸的旋轉分別叫做 roll, pitch 和 yaw 旋轉。因為這些旋轉被表達為關於一個軸的旋轉，它們的生成元很容易表達。
繞 x-軸的主動旋轉定義為:
R
x
(
θ
x
)
=
[
1
0
0
0
cos
θ
x
−
sin
θ
x
0
sin
θ
x
cos
θ
x
]
=
exp
(
θ
x
[
1
0
0
0
0
−
1
0
1
0
]
)
{\displaystyle {\mathcal {R}}_{x}(\theta _{x})={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos {\theta _{x}}&-\sin {\theta _{x}}\\0&\sin {\theta _{x}}&\cos {\theta _{x}}\end{bmatrix}}=\exp \left(\theta _{x}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}}\right)}
這裡的
θ
x
{\displaystyle \theta _{x}}
是 roll 角，和右手螺旋的方向相反（在yz平面順時針）。
繞 y-軸的主動旋轉定義為:
R
y
(
θ
y
)
=
[
cos
θ
y
0
sin
θ
y
0
1
0
−
sin
θ
y
0
cos
θ
y
]
=
exp
(
θ
y
[
0
0
1
0
1
0
−
1
0
0
]
)
{\displaystyle {\mathcal {R}}_{y}(\theta _{y})={\begin{bmatrix}\cos {\theta _{y}}&0&\sin {\theta _{y}}\\0&1&0\\-\sin {\theta _{y}}&0&\cos {\theta _{y}}\end{bmatrix}}=\exp \left(\theta _{y}{\begin{bmatrix}0&0&1\\0&1&0\\-1&0&0\end{bmatrix}}\right)}
這裡的
θ
y
{\displaystyle \theta _{y}}
是 pitch 角，和右手螺旋的方向相反（在zx平面順時針）。
繞 z-軸的主動旋轉定義為:
R
z
(
θ
z
)
=
[
cos
θ
z
−
sin
θ
z
0
sin
θ
z
cos
θ
z
0
0
0
1
]
=
exp
(
θ
z
[
0
−
1
0
1
0
0
0
0
1
]
)
{\displaystyle {\mathcal {R}}_{z}(\theta _{z})={\begin{bmatrix}\cos {\theta _{z}}&-\sin {\theta _{z}}&0\\\sin {\theta _{z}}&\cos {\theta _{z}}&0\\0&0&1\end{bmatrix}}=\exp \left(\theta _{z}{\begin{bmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\right)}
這裡的
θ
z
{\displaystyle \theta _{z}}
是 yaw 角，和右手螺旋的方向相反（在xy平面順時針）。
在飛行動力學中，roll, pitch 和 yaw 角通常分別採用符號
γ
{\displaystyle \gamma }
,
α
{\displaystyle \alpha }
, 和
β
{\displaystyle \beta }
；但是為了避免混淆於歐拉角這裡使用符號
θ
x
{\displaystyle \theta _{x}}
,
θ
y
{\displaystyle \theta _{y}}
和
θ
z
{\displaystyle \theta _{z}}
。
任何 3 維旋轉矩陣
M
∈
R
3
×
3
{\displaystyle {\mathcal {M}}\in \mathbb {R} ^{3\times 3}}
都可以用這三個角
θ
x
{\displaystyle \theta _{x}}
,
θ
y
{\displaystyle \theta _{y}}
, 和
θ
z
{\displaystyle \theta _{z}}
來刻畫，並且可以表示為 roll, pitch 和 yaw 矩陣的乘積。
M
{\displaystyle {\mathcal {M}}}
是在
R
3
×
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3\times 3}\,}
中的旋轉矩陣
⇔
∃
θ
x
,
θ
y
,
θ
z
∈
[
0
…
π
)
:
M
=
R
z
(
θ
z
)
R
y
(
θ
y
)
R
x
(
θ
x
)
{\displaystyle \Leftrightarrow \,\exists \,\theta _{x},\theta _{y},\theta _{z}\in [0\ldots \pi ):\,{\mathcal {M}}={\mathcal {R}}_{z}(\theta _{z})\,{\mathcal {R}}_{y}(\theta _{y})\,{\mathcal {R}}_{x}(\theta _{x})}
在
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
中所有旋轉的集合，加上複合運算形成了旋轉群 SO(3)。這裡討論的矩陣接着提供了這個群的群表示。更高維的情況可參見 Givens旋轉。
角-軸表示和四元數表示
編輯
主條目：軸角和四元數和空間旋轉
在三維中，旋轉可以通過單一的旋轉角
θ
{\displaystyle \theta }
和所圍繞的單位向量方向
v
^
=
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}=(x,y,z)}
來定義。
M
(
v
^
,
θ
)
=
[
cos
θ
+
(
1
−
cos
θ
)
x
2
(
1
−
cos
θ
)
x
y
−
(
sin
θ
)
z
(
1
−
cos
θ
)
x
z
+
(
sin
θ
)
y
(
1
−
cos
θ
)
y
x
+
(
sin
θ
)
z
cos
θ
+
(
1
−
cos
θ
)
y
2
(
1
−
cos
θ
)
y
z
−
(
sin
θ
)
x
(
1
−
cos
θ
)
z
x
−
(
sin
θ
)
y
(
1
−
cos
θ
)
z
y
+
(
sin
θ
)
x
cos
θ
+
(
1
−
cos
θ
)
z
2
]
{\displaystyle {\mathcal {M}}({\hat {\mathbf {v} }},\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta +(1-\cos \theta )x^{2}&(1-\cos \theta )xy-(\sin \theta )z&(1-\cos \theta )xz+(\sin \theta )y\\(1-\cos \theta )yx+(\sin \theta )z&\cos \theta +(1-\cos \theta )y^{2}&(1-\cos \theta )yz-(\sin \theta )x\\(1-\cos \theta )zx-(\sin \theta )y&(1-\cos \theta )zy+(\sin \theta )x&\cos \theta +(1-\cos \theta )z^{2}\end{bmatrix}}}
這個旋轉可以簡單的以生成元來表達:
M
(
v
^
,
θ
)
=
exp
(
θ
[
0
−
z
y
z
0
−
x
−
y
x
0
]
)
{\displaystyle {\mathcal {M}}({\hat {\mathbf {v} }},\theta )=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&-z&y\\z&0&-x\\-y&x&0\\\end{bmatrix}}\right)}
在運算於向量 r 上的時候，這等價於Rodrigues旋轉公式：
M
⋅
r
=
r
cos
(
θ
)
+
v
^
×
r
sin
(
θ
)
+
(
v
^
⋅
r
)
v
^
(
1
−
cos
(
θ
)
)
{\displaystyle {\mathcal {M}}\cdot \mathbf {r} =\mathbf {r} \,\cos(\theta )+{\hat {\mathbf {v} }}\times \mathbf {r} \,\sin(\theta )+({\hat {\mathbf {v} }}\cdot \mathbf {r} ){\hat {\mathbf {v} }}(1-\cos(\theta ))}
角-軸表示密切關聯於四元數表示。依據軸和角，四元數可以給出為正規化四元數 Q:
Q
=
(
x
i
+
y
j
+
z
k
)
sin
(
θ
/
2
)
+
cos
(
θ
/
2
)
{\displaystyle Q=(xi+yj+zk)\sin(\theta /2)+\cos(\theta /2)\,}
這裡的 i, j 和 k 是 Q 的三個虛部。
歐拉角表示
編輯
主條目：歐拉角
在三維空間中，旋轉可以通過三個歐拉角
(
α
,
β
,
γ
)
{\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma )}
來定義。有一些可能的歐拉角定義，每個都可以依據 roll, pitch 和 yaw 的複合來表達。依據 "x-y-z" 歐拉角，在右手笛卡爾坐標中的旋轉矩陣可表達為:
M
(
α
,
β
,
γ
)
=
R
z
(
γ
)
R
y
(
β
)
R
x
(
α
)
{\displaystyle {\mathcal {M}}(\alpha ,\beta ,\gamma )={\mathcal {R}}_{z}(\gamma ){\mathcal {R}}_{y}(\beta ){\mathcal {R}}_{x}(\alpha )}
進行乘法運算生成:
M
(
α
,
β
,
γ
)
=
[
cos
γ
−
sin
γ
0
sin
γ
cos
γ
0
0
0
1
]
[
cos
β
0
sin
β
0
1
0
−
sin
β
0
cos
β
]
[
1
0
0
0
cos
α
−
sin
α
0
sin
α
cos
α
]
=
[
cos
γ
cos
β
−
sin
γ
cos
γ
sin
β
sin
γ
cos
β
cos
γ
sin
γ
sin
β
−
sin
β
0
cos
β
]
[
1
0
0
0
cos
α
−
sin
α
0
sin
α
cos
α
]
=
[
cos
γ
cos
β
−
sin
γ
cos
α
+
cos
γ
sin
β
sin
α
sin
γ
sin
α
+
cos
γ
sin
β
cos
α
sin
γ
cos
β
cos
γ
cos
α
+
sin
γ
sin
β
sin
α
−
cos
γ
sin
α
+
sin
γ
sin
β
cos
α
−
sin
β
cos
β
sin
α
cos
β
cos
α
]
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {M}}(\alpha ,\beta ,\gamma )&={\begin{bmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \beta &0&\sin \beta \\0&1&0\\-\sin \beta &0&\cos \beta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\cos \gamma \cos \beta &-\sin \gamma &\cos \gamma \sin \beta \\\sin \gamma \cos \beta &\cos \gamma &\sin \gamma \sin \beta \\-\sin \beta &0&\cos \beta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\cos \gamma \cos \beta &-\sin \gamma \cos \alpha +\cos \gamma \sin \beta \sin \alpha &\sin \gamma \sin \alpha +\cos \gamma \sin \beta \cos \alpha \\\sin \gamma \cos \beta &\cos \gamma \cos \alpha +\sin \gamma \sin \beta \sin \alpha &-\cos \gamma \sin \alpha +\sin \gamma \sin \beta \cos \alpha \\-\sin \beta &\cos \beta \sin \alpha &\cos \beta \cos \alpha \end{bmatrix}}\end{aligned}}}
對稱保持 SVD 表示
編輯
對旋轉軸
q
{\displaystyle q}
和旋轉角
θ
{\displaystyle \theta }
，旋轉矩陣
M
=
q
q
T
+
Q
G
Q
T
{\displaystyle {\mathcal {M}}=qq^{T}+QGQ^{T}}
這裡的
Q
=
[
q
1
,
q
2
]
{\displaystyle Q={\begin{bmatrix}q_{1},&q_{2}\end{bmatrix}}}
的縱列張開正交於
q
{\displaystyle q}
的空間而
G
{\displaystyle G}
是
θ
{\displaystyle \theta }
度 Givens 旋轉，就是說
G
=
[
cos
θ
sin
θ
−
sin
θ
cos
θ
]
{\displaystyle G={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}